Функциональная непрерывная дробь (F C F) экспоненциального класса определяется как \(a_(cf) (x;b) = a^(x+b/(a^(x+b/a^(x +...)))), a > 0\), После установки а = е = 2,718281828 .., как вы докажете, что \(e_(cf) ( 0.1; 1 ) = 1.880789470\), около?

0
0

Функциональная непрерывная дробь (F C F) экспоненциального класса определяется как \(a_(cf) (x;b) = a^(x+b/(a^(x+b/a^(x +…)))), a > 0\), После установки а = е = 2,718281828 .., как вы докажете, что \(e_(cf) ( 0.1; 1 ) = 1.880789470\), около?

0
0

Смотрите объяснение …

Объяснение:

Позволять \[t = a_(cf)(x;b)\] Затем: \[t = a_(cf)(x;b) = a^(x+b/a^(x+b/a^(x+b/a^(x+…)))) = a^(x+b/(a_(cf)(x;b))) = a^(x+b/t)\] Другими словами, \[t\] является фиксированной точкой отображения: \[F_(a,b,x)(t) = a^(x+b/t)\] Обратите внимание, что само по себе, \[t\] будучи фиксированной точкой \[F(t)\] недостаточно, чтобы доказать это \[t = a_(cf)(x;b)\] , Там могут быть нестабильные и стабильные фиксированные точки.
Например, \[2016^(1/2016)\] является фиксированной точкой \[x -> x^x\] , но это не решение \[x^(x^(x^(x^…))) = 2016\] (Нет решения).
Тем не менее, давайте рассмотрим \[a = e\] , \[x = 0.1\] , \[b = 1.0\] а также \[t = 1.880789470\] Затем: \[F_(a,b,x)(t) = e^(0.1+1/1.880789470)\] \[~~e^(0.1+0.5316916199)\] \[=e^0.6316916199\] \[~~ 1.880789471 ~~ t\] Так что это значение \[t\] очень близко к фиксированной точке \[F_(a,b,x)\] Чтобы доказать его устойчивость, рассмотрим производную вблизи \[t\] , \[d/(ds) F_(e,1,0.1) (s) = d/(ds) e^(0.1+1/s) = -1/s^2 e^(0.1+1/s) \] Итак, мы находим: \[F’_(e,1,0.1) (t) = -1/t^2 e^(0.1+1/t) = -1/t^2*t = -1/t ~~ -0.5316916199\] Так как это отрицательно и имеет абсолютное значение меньше \[1\] фиксированная точка на \[t\] стабильный
Также обратите внимание, что для любого ненулевого реального значения \[s\] у нас есть: \[F’_(e,1,0.1) (s) = -1/s^2 e^(0.1+1/s) < 0\] Это \[F_(e,1,0.1)(s)\] строго монотонно убывающий.
следовательно \[t\] является уникальной стабильной фиксированной точкой.

0
0

Контрактивное поведение.

Объяснение:

С \[a = e\] а также \[x = x_0\] итерация выглядит следующим образом \[y_{k+1} = e^{x_0+b/y_k}\] а также \[y_k = e^{x_0+b/y_{k-1}}\] Исследуем условия сжатия в итерационном операторе.
Вычитая обе стороны \[y_{k+1}-y_k = e^{x_0}(e^{b/y_k}-e^{b/y_{k-1}})\] но в первом приближении \[e^{b/y_k} = e^{b/y_{k-1}} + d/(dy_{k-1})(e^(b/y_{k-1}))(y_k-y_{k-1}) + O((y_{k-1})^2)\] или \[e^{b/y_k} — e^{b/y_{k-1}} approx -b(e^{b/y_{k-1}})/(y_{k-1})^2(y_k-y_{k-1})\] Нам нужно сокращение \[abs(y_{k+1}-y_k) < abs(y_k-y_{k-1})\] Это достигается, если \[abs(e^{x_0}b(e^{b/y_{k-1}})/(y_{k-1})^2) 0\] а также \[k = 1\] у нас есть. \[x_0 + b/y_0 < 2 log_e(y_0/b)\] Так дано \[x_0\] а также \[b\] это соотношение позволяет нам найти начальную итерацию при сжимающем поведении.

Показано 2 результатов