Как вы учитываете \(15y^3-19y^2-30y+7\)?

0
0

\[15y^3-19y^2-30y+7\] не имеет факторизации с рациональными коэффициентами.
«Можно» найти разложение вида: \[15y^3-19y^2-30y+7 = 15(y-y_1)(y-y_2)(y-y_3)\] Объяснение:

Дано (переставлено в стандартный порядок): \[f(y) = 15y^3-19y^2-30y+7\] \[()\] Теорема о рациональных корнях
По теореме рациональных корней любые рациональные нули \[f(y)\] выражаются в виде \[p/q\] для целых чисел \[p, q\] с \[p\] делитель постоянного члена \[7\] а также \[q\] делитель коэффициента \[15\] ведущего срока.
Это означает, что единственно возможными рациональными нулями являются: \[+-1/15, +-1/5, +-1/3, +-1, +-19/15, +-19/5, +-19/3, +-19\] Мы нашли: \[f(-19/15) = -3593/225\] \[f(-1) = 3\] \[f(1/5) = 9/25\] \[f(1/3) = -41/9\] \[f(19/15) = -31\] \[f(19/5) = 7951/18\] \[f(y)\] не равно нулю ни при одном из возможных рациональных значений, но меняет знак между ними, как мы нашли.
Так \[f(y)\] не имеет рациональных корней, но имеет \[3\] иррациональные корни, в: \[(-19/15, -1)\] , \[(1/5, 1/3)\] а также \[(19/15, 19/5)\] \[()\] Куда мы отправимся отсюда?
Если мы можем найти нули \[y_1\] , \[y_2\] а также \[y_3\] тогда заданы полиномиальные факторы как: \[15y^3-19y^2-30y+7 = 15(y-y_1)(y-y_2)(y-y_3)\] Так как все три нуля являются действительными, но иррациональными, они попадают в «casus irreducibilis» Кардано. Его метод будет заключаться в получении кубических корней не вещественных комплексных чисел.
Лучшим вариантом для «алгебраического» решения является, вероятно, тригонометрический вариант, использующий тот факт, что: \[cos 3theta = 4cos^3theta — 3cos theta\] и замена: \[y = 19/45 + k cos theta\] для некоторых \[k\] выбран, чтобы вызвать условия в \[cos^3 theta\] а также \[cos theta\] чтобы соответствовать \[cos 3 theta\] формула.
Это, вероятно, становится более грязным, чем вы хотели бы.

Показан 1 результат