Какое наименьшее целое число \(n\)такой, что \(n! = m cdot 10^(2016)\)?

0
0

Какое наименьшее целое число \(n\)такой, что \(n! = m cdot 10^(2016)\)?

0
0

\[n=8075\] Объяснение:

Позволять \[v_p(k)\] быть кратность \[p\] как фактор \[k\] , Это, \[v_p(k)\] наибольшее целое число такое, что \[p^(v_p(k))|k\] ,

Замечания:

Для любой \[k in ZZ^+\] а также \[p\] премьер, у нас есть \[v_p(k!) = sum_(i = 1)^k v_p(i)\] (Это легко проверить по индукции)

Для любого целого числа \[k > 1\] , у нас есть \[v_2(k!) > v_5(k!)\] ,
(Это интуитивно, как кратные полномочия \[2\] встречаются чаще, чем кратные эквивалентные степени \[5\] и может быть строго доказано с использованием аналогичного аргумента)

За \[j, k in ZZ^+\] , у нас есть \[j|k v_p(j) <= v_p(k)\] для любого простого делителя \[p\] из \[j\] ,

Исходя из этого, наша цель — найти наименее целое число \[n\] такой, что \[10^2016|n!\] , В виде \[10^2016 = 2^2016xx5^2016\] затем третьим наблюдением нам нужно только подтвердить, что \[2016 <=v_2(n!)\] а также \[2016 = 2016\] ,

Найти \[n\] мы сделаем наблюдение, которое позволит нам рассчитать \[v_5(5^k!)\] ,
Между \[1\] а также \[5^k\] , есть \[5^k/5\] кратные \[5\] каждый из которых вносит как минимум \[1\] к сумме \[sum_(i=1)^(5^k)v_5(i)\] , Это также \[5^k/25\] кратные \[25\] каждый из которых вносит дополнительный \[1\] на сумму после первоначального подсчета. Мы можем действовать таким образом, пока не достигнем одного \[5^k\] (который \[5^k\] сам), который способствовал \[k\] раз к сумме. Рассчитав сумму таким способом, мы имеем \[v_5(5^k!) = sum_(i=1)^(5^k)v_5(i)=sum_(i=1)^(k)5^k/5^i=sum_(i=1)^k5^(k-i)=sum_(i=0)^(k-1)5^i=(5^k-1)/(5-1)\] Таким образом, мы находим, что \[v_5(5^k!) = (5^k-1)/4\] Наконец, мы найдем \[n\] такой, что \[v_5(n!) = 2016\] , Если мы рассчитаем \[v_5(5^k!)\] для нескольких значений \[k\] , мы нашли \[v_5(5^1) = 1\] \[v_5(5^2) = 6\] \[v_5(5^3) = 31\] \[v_5(5^4) = 156\] \[v_5(5^5) = 781\] В виде \[2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)\] , \[n\] нужны два «блока» \[5^5\] , два из \[5^4\] четыре из \[5^3\] и три из \[5^2\] , Таким образом, мы получаем \[n = 2(5^5)+2(5^4)+4(5^3)+3(5^2) = 8075\] Компьютер может быстро проверить, что \[sum_(i=1)^(8075)v_5(i)=2016\] , таким образом \[10^2016 | 8075!\] , и в качестве \[5|8075!\] с множественностью \[2016\] а также \[5|8075\] Ясно, что никакое меньшее значение не будет достаточным.

Показан 1 результат