Каковы корни \(38r^3-27r^2-27r-27 = 0\)?

0
0

Настоящий корень: \[x = 3/2\] Сложные корни: \[x = -15/38+-(3sqrt(51))/38i\] Объяснение: \[f(x) = 38r^3-27r^2-27r-27\] По теореме рациональных корней любые рациональные нули \[f(x)\] выражаются в виде \[p/q\] для целых чисел \[p, q\] с \[p\] делитель постоянного члена \[-27\] а также \[q\] делитель коэффициента \[38\] ведущего срока.
Это означает, что единственно возможными рациональными нулями являются: \[+-1/38, +-1/19, +-3/38, +-3/19, +-9/38, +-1/2, +-27/38, +-1, +-27/19, +-3/2, +-3, +-9/2, +-9, +-27/2, +-27\] Это довольно много возможностей, так что давайте посмотрим, как мы можем сузить поиск …
Прежде всего отметим, что в структуре знаков коэффициенты \[f(x)\] является \[+ — — -\] , По правилу знаков Декарта, поскольку это имеет одно изменение, мы можем сделать вывод, что \[f(x)\] имеет ровно один положительный реальный ноль.
Мы можем наблюдать, что: \[f(1) = 38-27-27-27 = -43 0\] Так что давайте попробуем: \[f(3/2) = 38(27/8)-27(9/4)-27(3/2)-27 = 27(38/8-9/4-3/2-1)\] \[=27(19-9-6-4)/4 = 0\] Так \[x=3/2\] это ноль и \[(2x-3)\] фактор: \[38r^3-27r^2-27r-27 = (2x-3)(19x^2+15x+9)\] Мы можем найти нули оставшегося квадрата, используя квадратную формулу с \[a=19\] , \[b=15\] , \[c=9\] … \[x = (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)\] \[(x) = (-15+-sqrt(15^2-4(19)(9)))/(2*19)\] \[(x) = (-15+-sqrt(225-684))/38\] \[(x) = (-15+-3sqrt(51)i)/38\] \[(x) = -15/38+-(3sqrt(51))/38i\]

Показан 1 результат