Найти число четырех наборов (a, b, c, d) натуральных чисел, удовлетворяющих всем трем уравнениям \(a^3=b^2\), \(c^3=d^2\), \(c-a=64\)?

0
0

Найти число четырех наборов (a, b, c, d) натуральных чисел, удовлетворяющих всем трем уравнениям \(a^3=b^2\), \(c^3=d^2\), \(c-a=64\)?

0
0

\[{a=15^2,b=15^3,c=17^2,d=17^3}\] а также \[{a=6^2,b=6^3,c=10^2,d=10^3}\] Объяснение:

решение \[{(a^3=b^2),
(c^3=d^2),
(c-a=64)
:}\] за \[b,c,d\] мы получаем выполнимое (целочисленное положительное) решение \[b = a^(3/2), c = 64 + a, d = (64 + a)^(3/2)\] Что касается решения для \[b\] тогда \[a = m^2\] а также
относительно решения для \[d\] тогда \[64+a = n^2\] так \[n^2-m^2=64 = 2^6\] или \[(n+m)(n-m) = p cdot q = 2^6\] а также \[n+m = p = {2^6,2^5,2^4}\] Для системы \[{
(n+m=p),
(n-m=q)
:}\] возможные решения \[{n = 17, m = 15}\] а также \[{n = 10,m = 6}\] тогда \[a={15^2, 6^2}\] \[d ={(sqrt (64+15^2))^3=17^3,(sqrt(64+6^2))^3=10^3}\] \[c = {64+15^2=17^2,64+6^2=10^2}\] \[b = {15^3, 6^3}\]

0
0

Есть два, а именно: \[(«»(15^2, 15^3, 17^2, 17^3)) = («»(225, 3375, 289, 4913))\] \[(«»(6^2, 6^3, 10^2, 10^3)) = («»(36, 216, 100, 1000))\] Объяснение:

Позволять: \[p = b/a\] Затем: \[p^2 = b^2/a^2 = a^3/a^2=a\] \[p^3 = b^3/a^3 = b^3/b^2 = b\] Тогда с \[p\] является положительным рациональным числом, квадрат которого является положительным целым числом, \[p\] должно быть положительным целым числом.
Точно так же, если мы позволим \[q = d/c\] , тогда \[q\] является положительным целым числом с: \[q^2 = c\] \[q^3 = d\] Затем: \[2^6 = 64 = c — a = q^2-p^2 = (q-p)(q+p)\] Обе \[(q-p)\] а также \[(q+p)\] положительные целые и \[(q-p) < (q+p)\] ,
Таким образом, единственно возможные \[2^6\] дать нам: \[{ ((q-p) = 1), ((q+p) = 64) :}(XX)\] следовательно \[2q=65,(X) (cancel((q=65/2)))\] \[{ ((q-p) = 2), ((q+p) = 32) :}(XX)\] следовательно \[2q=34,(X) (q = 17),(X) (p = 15)\] \[{ ((q-p) = 4), ((q+p) = 16) :}(XX)\] следовательно \[2q=20,(X) (q = 10), (X) (p = 6)\] Итак, есть два возможных кортежа \[(a,b,c,d)\] удовлетворяющих условиям, а именно: \[(""(15^2, 15^3, 17^2, 17^3)) = (""(225, 3375, 289, 4913))\] \[(""(6^2, 6^3, 10^2, 10^3)) = (""(36, 216, 100, 1000))\]

Показано 2 результатов