Пусть будет \(N\)наименьшее целое число с 378 делителями. Если \(N = 2^a xx 3^b xx 5^c xx 7^d\)Какова стоимость \({a,b,c,d} in NN\)?

0
0

Пусть будет \(N\)наименьшее целое число с 378 делителями. Если \(N = 2^a xx 3^b xx 5^c xx 7^d\)Какова стоимость \({a,b,c,d} in NN\)?

0
0

\[(a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2)\] \[N = 2^6xx3^5xx5^2xx7^2=19,051,200\] Объяснение:

Учитывая номер \[n\] с первичной факторизацией \[n = p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)…p_k^(alpha_k)\] каждый делитель \[n\] имеет форму \[p_1^(beta_1)p_2^(beta_2)…p_k^(beta_k)\] где \[beta_i in {0, 1, …, alpha_i}\] , Как есть \[alpha_i+1\] выбор для каждого \[beta_i\] количество делителей \[n\] дан кем-то \[(alpha_1+1)(alpha_2+1)…(alpha_k+1)=prod_(i=1)^k(alpha_i+1)\] В виде \[N=2^axx3^bxx5^cxx7^d\] количество делителей \[N\] дан кем-то \[(a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = 378\] , Таким образом, наша цель — найти \[(a, b, c, d)\] так, что вышеупомянутый продукт содержит и \[2^axx3^bxx5^cxx7^d\] минимален Поскольку мы минимизируем, мы будем предполагать, что с этого момента \[a>=b>=c>=d\] (если бы это было не так, мы могли бы поменять местами экспоненты, чтобы получить меньший результат с тем же числом делителей).
Отмечая что \[378 = 2xx3^3xx7\] мы можем рассмотреть возможные случаи, когда \[378\] записывается как произведение четырех целых чисел \[k_1, k_2, k_3, k_4\] , Мы можем проверить их, чтобы увидеть, какой из них дает наименьший результат для \[N\] ,
Формат: \[(k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2^axx3^bxx5^cxx7^d\] \[(2, 3, 3^2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~3.3xx10^7\] \[(2, 3, 3, 3*7) => (20, 2, 2, 1) => ~1.7xx10^9\] \[((3, 3, 2*3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~1.9xx10^7)\] \[(3, 3, 3, 2*7) => (13, 2, 2, 2) => ~9.0xx10^7\] \[(1, 3, 2*3^2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~2.4xx10^9\] Мы можем остановиться здесь, так как любые дальнейшие случаи будут иметь \[k_i>=27\] , давая \[2^a >= 2^26 ~~ 6.7xx10^7\] , что уже больше, чем в нашем лучшем случае.
Таким образом, \[(a, b, c, d)\] который производит минимальный \[N\] с \[378\] делители это \[(a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2)\] , давая \[N = 2^6xx3^5xx5^2xx7^2=19,051,200\]

Показан 1 результат