Рассмотрим полином \(f(x)=x^4-4ax^3+6b^2x^2-4c^3x+d^4\)где \(a,b,c,d\)положительные реальные цифры. Докажи, что если \(f\)имеет четыре положительных корня, то \(a > b > c > d\)?

0
0

Рассмотрим полином \(f(x)=x^4-4ax^3+6b^2x^2-4c^3x+d^4\)где \(a,b,c,d\)положительные реальные цифры. Докажи, что если \(f\)имеет четыре положительных корня, то \(a > b > c > d\)?

0
0

См. ниже.

Объяснение:

Полагая, что \[x_1,x_2,x_3,x_4\] различны реальные
корни \[f(x)\] тогда \[f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\] приравнивая коэффициенты мы имеем \[{(a = 1/4 (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)),(b = sqrt[x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_4 + x_3 x_4]/sqrt[6]),(c = (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)^(1/3)/2^(2/3)),(d = x_1^(1/4) x_2^(1/4) x_3^(1/4) x_4^(1/4)):}\] Мы даем читателю в качестве упражнения, чтобы доказать, что если \[x_1,x_2,x_3,x_4\] различны, \[ 1/4 (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) > sqrt[x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_4 + x_3 x_4]/sqrt[6]> (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)^(1/3)/2^(2/3) > x_1^(1/4) x_2^(1/4) x_3^(1/4) x_4^(1/4)\]

0
0

Поскольку число положительных корней задано как 4, максимальное число
изменений в знаках коэффициентов должно быть 4.
Если a или c или оба отрицательны, число изменений в знаке
стало бы два или ни одного Так, достаточные условия для
все четыре корня как положительные — это {a> 0 и c> 0}.
Это более спокойно, чем данные условия.

Показано 2 результатов