Существуют ли простые числа \(a, b, c\)удовлетворяющих \(a^2+b^3=c^4\)?

0
0

Существуют ли простые числа \(a, b, c\)удовлетворяющих \(a^2+b^3=c^4\)?

0
0

нет

Объяснение:

предполагать \[a^2+b^3=c^4\] для некоторых простых чисел \[a, b, c\] ,
Обратите внимание, что \[a=b=c=2\] не работает, то есть обе стороны уравнения имеют одинаковую четность, один из \[a, b, c\] должно быть \[2\] и два других должны быть нечетными простыми числами.
Далее обратите внимание, что мы можем вычесть \[a^2\] с каждой стороны уравнения, чтобы получить \[b^3 = c^4-a^2 = (c^2+a)(c^2-a)\] \[=> b^2 = c^2+a\] а также \[b = c^2-a\] (в виде \[c^2+a > c^2-a\] а также \[b\] прост) \[=> (c^2-a)^2 = c^2+a\] Теперь рассмотрим три случая.
Дело 1: \[a = 2\] \[=> (c^2-2)^2 = c^2+2\] \[=> c^4-4c^2+4 = c^2+2\] \[=> c^4-5c^2+2 = 0\] \[=> c^2 = (5+-sqrt(17))/2\] \[=> c !in NN\] но это противоречит предпосылке, что \[c\] это простое число.
Случай 2: \[b = 2\] \[=> {(c^2-a = 2),(c^2+a = 4):}\] \[=> (c^2-a)+(c^2+a) = 2+4\] \[=> 2c^2 = 6\] \[=> c^2 = 3\] \[=> c != NN\] снова противоречит предпосылке, что \[c\] прост.
Случай 3: \[c = 2\] \[=> a^2+b^3=16\] Если \[a\] а также \[b\] оба нечетных простых числа, то наименьшая левая сторона может быть достигнута, когда оба \[a\] а также \[b\] наименьшее нечетное простое число, т.е. \[a=b=3\] , давая \[a^2+b^3 >= 3^2+3^3 > 16\] противоречие.
Поскольку каждый случай приводит к противоречию, нет трех простых чисел \[a, b, c\] удовлетворяющих \[a^2+b^3=c^4\]

Показан 1 результат