Индивидуальные учебные работы для студентов


Реферат элементы статистики и теории вероятностей

Числовые характеристики случайных величин 4. Понятие функции случайной величины 6. Центральная предельная теорема Литература 1. Вероятность Случайные ошибки реферат элементы статистики и теории вероятностей описывать методами теории вероятностей. Ниже будут приведены некоторые основные сведения из теории вероятностей. Тут надо сказать, что само понятие вероятности базируется на интуитивных представлениях.

Мы не будем вводить формально строгих определений, а последуем как раз интуитивным представлениям. К случайным относятся события, предсказать конкретную реализацию которых невозможно. Причина невозможности предсказаний может быть разной - то ли это внутренняя природа явлений как в случае с квантовыми явлениямито ли это следствие нашего неполного знания.

Оговоримся лишь о следующем: Событием называется конкретная реализация некоторого эксперимента, скажем, измерение какой-то реферат элементы статистики и теории вероятностей. Набор всевозможных событий - результатов данного эксперимента - образует полную группу событий. События называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти.

Как оценить вероятность реализации того или иного события? Наиболее просто она оценивается тогда, когда полная группа событий может быть представлена как совокупность N равновозможных случаев, а рассматриваемое событие А состоит в реализации одного из n этих случаев. Тогда вероятность этого события Р А находится по формуле: Очевидно, вероятность реализации какого-то события заключена в пределах реферат элементы статистики и теории вероятностей 0 до 1.

Ноль означает, что событие невероятное. Результат определения частоты реализации какого-то события в разных сериях может оказать различным. При малом числе экспериментов разброс может быть значительным. Однако, по мере увеличения числа экспериментов он может стремиться к некоторому пределу. Такие события называют статистически устойчивыми. Они и являются предметом теории вероятностей. События, не обладающие этим свойством, называют неопределенными, и теорией вероятности они не рассматриваются.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении или события А, или В или обоих. Это определение очевидным образом распространяется на несколько событий. Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном реферат элементы статистики и теории вероятностей события А и В.

Опять же, это определение очевидным образом распространяется на несколько событий. Часто полезно бывает изображать событие как множество точек на плоскости, см. Сумма и произведение событий. Для дальнейшего нам важно уметь рассчитывать вероятности для суммы и произведения событий, если известны вероятности исходных событий. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Для доказательства этой теоремы подсчитывается частота событий А и В. Поскольку события несовместны, то суммарная частота реализации этих событий и дает вероятность суммы событий.

Очевидно, она равна сумме вероятностей. Можно также воспользоваться рис. Действительно, пусть события А и В будут подмножеством некоторого множества D. Вероятность события А мы можем оценить как отношение "площади" А к "площади" D. Соответственно и для события В. Тогда вероятность для суммы несовместных событий будет равна приведенной выше формуле.

Как подсчитать вероятность суммы совместных реферат элементы статистики и теории вероятностей Пользуясь последним методом, легко сообразить, что она равна: Введем вначале определение независимых событий. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или.

Можно показать, что обратное утверждение верно, если выполняется прямое. Вероятность произведения двух событий Р АВ равна: Здесь как раз и учитывается, что события А и В могут быть зависимыми.

Приведенная формула легко доказывается с использованием понятия частот. Пусть мы имеем N возможных исходов, из них событию А благоприятны k случаев, событию В - m случаев. Число перекрывающихся случаев - благоприятных одновременно и событию А и событию В в приведенных выше терминах это реферат элементы статистики и теории вероятностей есть произведение событий АВ пусть будет n.

Подстановка этих соотношений в 3 приводит к тождеству. Соотношение 3 можно было бы переписать в виде: Если событие А не зависит от события В, то это записывается так: Отсюда имеем вероятность произведения независимых событий: Если это предположение не выполняется а на практике часто так бываетотсюда могут проистекать некорректные, и даже ошибочные оценки измеряемых величин см.

Непрерывные случайные величины Выше речь шла о дискретных случайных величинах. Если случайная величина является непрерывной, то есть она может принимать любые значения на числовой оси, а не только целые пример - стрельба по мишени, в этом случае координата точки попадания снаряде есть непрерывная случайная величинато мы уже не можем ввести частоту появления конкретного значения.

Для непрерывной случайной величины можно говорить о вероятности попадания ее в некоторый интервал. Скажем, рассматриваем случайную величину. Мы можем говорить о вероятности попадания ее в интервал от. Иными словами, реализация любого значения - достоверное событие.

Введение…………………………………………………………………………3

Еще говорят, что вероятность Р нормирована на 1. Этому условию по определению всегда должна удовлетворять вероятность. Выполнения его добиваются путем введением соответствующего множителя в функции. Из сказанного выше вытекает еще одно условие на функцию плотности распределения вероятности: Числовые характеристики случайных величин Математическое ожидание: Величина 6 называется математическим реферат элементы статистики и теории вероятностей. По существу, - это среднее значение с учетом веса реализации текущего значения.

Чтобы пояснить понятие веса, примем здесь, что - дискретная величина. Пусть данное значение - обозначим его x реализовалось n. Приведенное выше выражение 6 есть обобщение сказанного на непрерывную случайную величину. Здесь роль веса или частоты играет fdx. Величина 7 называется моментом порядка S математическое ожидание есть момент первого порядка. Моменты являются числовыми характеристиками вероятностных свойств изучаемой случайной величины.

На реферат элементы статистики и теории вероятностей функция плотности распределения вероятности может быть определена не всегда, поэтому вместо нее могут быть использованы моменты.

Нередко ограничиваются первыми двумя или тремя моментами третий момент описывает асимметрию функции плотности распределения вероятности.

Элементы теории вероятностей

Чрезвычайно важной особенностью моментов является то, что они обладают свойством устойчивости: Нормальный закон На рис. Ее смысл - вероятность попадания случайной величины в соответствующий интервал. Максимум есть наиболее вероятное значение, так как при одном и том же вероятность попадания в соответствующий диапазон здесь будет больше, чем в другом месте.

Если какая-то величина описывается приведенным выше нормальным законом, то ее среднее9 При вычислении этого интеграла делается замена переменныхотсюда. Смысл ее в том, что вероятность реализации какого-либо значения случайной величины х равна 1. Второй момент вычисляется также: В дальнейшем мы будем в основном пользоваться центрированными функциями. Из рисунка видно, что она характеризует реферат элементы статистики и теории вероятностей охватываемой графиком области.

Ее называют среднеквадратичным, или стандартным, отклонением х от среднего значения.

Комбинаторика, статистика и теория вероятностей

Она, очевидно, характеризует меру разброса х относительно среднего. Для дальнейшего важно, что: В последних двух случаях можно сказать: Понятие функции случайной величины Рассмотрим важную с точки зрения практического применения задачу. Пусть имеется непрерывная случайная величина с плотностью распределения. Нас интересует задача нахождения плотности распределения величинысвязанной с соотношением: Решение задачи зависит от того, как ведет себя функция - возрастает, убывает или колеблется.

Если величина попадает в интервал от дото, соответственно, величина попадает в интервал. Далее, есть вероятность попадания величины в указанный интервал. При этом вероятность для попасть в соответствующий реферат элементы статистики и теории вероятностей.

Поскольку вероятности совпадают, можем записать: Далее надо сделать замену переменных: Делаем замену переменных в предыдущем выражении:

VK
OK
MR
GP